Hebt das Flugzeug ab oder nicht?

Wie man unpräzise und mißverständnliche Fragestellungen die seltsamsten Ergebnisse erzeugt.

Eben kam gerade auf RTL-II die Sendung “Mythbusters”, eine Serie über ein paar handwerklich begabte Chaoten, die neuzeitlichen technischen Mythen und Urban Legends nachgehen, und zwar unter Umgehung von wissenschaftlichen Überlegungen durch direktes, fernsehwirksames Experiment. Dazu hämmern, basteln, schweißen sie immer irgendetwas neues zusammen und es geht grundsätzlich allerhand kaputt dabei. Dafür schießen sie mal Autos durch die Luft oder sprengen alles, was nicht niet- und nagelfest ist.

Heute ging es um eine Frage, die angeblich heiß in verschiedenen Foren diskutiert würde, und die einen streiten mit den anderen ob nun oder ob nicht. Die Frage:

Wenn ein Flugzeug beim Start auf einem Laufband mit Startgeschwindigkeit fährt, obwohl sich das Laufband darunter mit derselben Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung bewegt, hebt es dann ab oder nicht?

Wer ein bischen Ahnung von Aerodynamik hat, muß eigentlich spontan sagen, daß das Flughzeug nicht abheben kann. Denn wenn sich das Flugzeug relativ zum Band mit einer Geschwindigkeit bewegt, mit der sich das Band relativ zur Umgebung in die andere Richtung, also nach hinten, bewegt, dann steht das Flugzeug relativ zur Umgebung still und hat aerodynamisch keinen Grund, warum es Auftrieb haben sollte. Herumstehende Flugzeuge heben ja auch nicht ab.

Sie haben es zuerst mit einem Modellflugzeug getestet und dann auch mit einem echten Ultraleichtflugzeug, unter dem sie eine Plane durchgezogen haben. Auch der Pilot des Flugzeuges sagte vorher, daß er nicht abheben kann, weil er ja relativ zur Luft ruhig steht, und dann zeigten sie von der Cockpit-Kamera sein verdutztes Gesicht, als er doch abhob. Jubel, Geschrei, man habe die Meinung vieler Wissenschaftler widerlegt.

Nur: In der Fragestellung liegt der Hund begraben, die Fragestellung ist falsch bzw. mehrdeutig. Man kann sie auf zwei Arten verstehen, und genau so haben sie auch die Experimente auf zwei Varianten gemacht.

Als sie die Frage (die mir übrigens noch nie begegnet ist) in der Sendung vorstellten, zeigten sie ein Modellflugzeug auf einem Trainingslaufband für Menschen, wie man sie aus dem Fitnessstudio kennt. Das Band war knapp doppelt so lang wie das Flugzeug und sie hatten für das erste Experiment das Flugzeug fixiert (d.h. wurde durch ein am Laufband-Chassis montiertertes Holzbrett angetrieben) . Da war es also so, daß sich das Band mit der Geschwindigkeit v_B nach hinten bewegte, während sich das Flugzeug relativ zum Band mit der Geschwindigkeit -v_B und relativ zur Umgebung mit der Geschwindigkeit 0 bewegte. Das Experiment scheiterte, weil sich das lapprige Fahrwerk in der Laufbandmechanik verhedderte, aber damit ist die Fragestellung eigentlich darauf festgelegt, daß das Flugzeug zur Umgebung ruhig steht.

Beim zweiten Experiment (hab ich leider nicht ganz gesehen) starteten sie das Modellflugzeug mit eigenem Motor und zogen in der Halle eine große Plane durch. Das Flugzeug hob ab, was als überraschend hingestellt wurde. Es ist aber ein riesiger Unterschied, ob man ein Flugzeug mit einem Stück Holz an der Umgebung anschraubt und damit eine Geschwindigkeit =0 erzwingt, oder ob man das Flugzeug den Propeller drehen läßt und es damit Geschwindigkeit gegenüber der Umgebung d.h. gegenüber der Luft aufnehmen läßt. Obwohl es ähnlich aussah, war das ein ganz anderes Experiment.

Und auch dem Piloten haben sie es so erklärt, als entspräche die Frage dem ersten Experiment, haben mit ihm effektiv aber das zweite durchgeführt, und er hat auch nicht näher darüber nachgedacht.

Als der dann startete, hat der richtig Gas gegeben. Er hat nicht etwa nur die Rückwärtsgeschwindigkeit des Bandes ausgeglichen, sondern das Flugzeug ist – trotz Band – wie immer nach vorne gejagt und hat sofort abgehoben.

Auch hier hatte das Flugzeug – wie im zweiten Experiment – als Antriebsmechanismus einen Propeller, also einen, der gegenüber der Umgebung (Luft) wirkt. Anders als bei einem Auto werden beim Flugzeug die Räder überhaupt nicht angetrieben und laufen beim Start frei. Abgesehen vom geringfügigen Rollwiderstand der Reifen und Lager spielt das für das Flugzeug deshalb keine Rolle, ob das Band sich bewegt oder nicht. Für das Flugzeug relevant ist, daß es sich ungehindert gegenüber der Luft bewegen kann und die notwendige Geschwindigkeit bekommt, um in die Strömung zu gelangen und Auftrieb zu erhalten. Und das würde eigentlich auch fast jedem einleuchten.

Die unterschiedlichen Meinungen basieren da weniger auf Unkenntnis, sondern eher auf den zwei Varianten, wie man die Fragestellung verstehen kann. Und wenn man sagt, daß sich das Flugzeug mit derselben Geschwindigkeit wie das Band in die andere Richtung bewegt, kommt es eben darauf an, ob nun relativ gegenüber Band oder Umgebung.

Der Streitpunkt liegt hier also nicht so sehr darin, ob man sich mit Physik auskennt, sondern die Fragestellung ist mißverständlich.

Vor ca. 12 Jahren geisterte ein ähnliches Problem – nicht physikalisch, sondern mathematisch, aber schwieriger – durch die Presse. Hinzu kam, daß es auch noch hieß, daß das Problem von der intelligentesten Frau der Welt gelöst worden sei. (Ich kam zum selben Ergebnis wie sie…). Aber auch damals am Uni-Institut kam es zu erbitterten Meinungsunterschieden und heftigen Diskussionen. Letztlich stellte sich aber auch da heraus, daß man die Aufgabenstellung auf zwei unterschiedliche Weisen verstehen konnte:

Wir sind der Kandidat in einer Spielshow. Der Moderator bietet uns drei Türen an, die alle gleich aussehen. Hinter einer lauert der Hauptgewinn, hinter den anderen beiden nur Nieten. Wir dürfen uns für eine der Türen entscheiden, und haben dann eben gewonnen oder verloren. (Im deutschen Privatfernsehen hieß das damals “Der Zonk”.)

Wir entscheiden und nun für eine Tür. O.b.d.A. nennen wir sie Tür A. Es bleiben die Türen B und C. Der Moderator öffnet sie aber nicht und sagt nun, er möchte uns eine Hilfe geben und uns etwas zeigen. Er geht auf eine der beiden anderen Türen zu, o. b. d. A. nennen wir sie Tür B, und öffnet sie. Hinter Tür B ist eine Niete (Sack Kohle oder sowas). Und er läßt uns die Wahl, ob wir bei der ursprünglichen Tür (A) bleiben oder doch lieber die verbliebene Tür (C) wählen.

Die eine Fraktion (u.a. ich) meinten nun, daß man wechseln sollte, weil man dadurch seine Chancen verdoppelt, nämlich von 1/3 (Tür A) auf 2/3 (Tür B).

Die andere Fraktion meinte, daß es egal wäre, weil der Gewinn jetzt nur noch hinter zwei Türen sein könnte, und die Türen A und C damit je eine 50%-Chance hätten.

Oh, gab es da Streit.

Meine bzw. die Argumentation der ersten Fraktion war, daß wir mit der Auswahl der Tür A einen Treffer mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 hatten. Zu einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 war der Gewinn nicht hinter Tür A. Da sich dann herausstellte, daß er hinter B nicht war, mußte sich der Gewinn mit 2/3 auf Tür C verlagern. Ein Wechsel auf die Tür C wäre quasi das gleiche, als würde man die Türen B und C zusammen bekommen, und nur eben schon wissen, daß zumindest B wertlos ist.

Die andere Fraktion argumentierte, daß mit der Öffnung der Tür durch den Moderator sich nichts daran geändert habe, daß von vornherein jede Tür die gleiche Wahrscheinlichkeit gehabt habe. Es sei vorher nicht wahrscheinlicher gewesen, daß sich der Gewinn hinter Tür C befindet, als hinter Tür A, dann könne das jetzt auch nicht wahrscheinlicher geworden sein, denn die Spielregeln sähen nicht vor, daß im Hintergrund jemand den Gewinn verschiebt. Da also beide Türen immer noch gleiche Wahrscheinlichkeit hätten und es nur noch zwei gäbe, müßte also die Verteilung nunmehr 50 zu 50 sein.

Auch hier stellte sich heraus, daß der Streit entstand, weil man die Aufgabenstellung auf zwei Arten verstehen konnte.

Die erste Fraktion verstand die Aufgabe so, daß der Moderator weiß, hinter welcher Tür der Gewinn ist, und bewußt eine Tür mit einer Niete öffnet, weil er weder selbst gewinnen noch das Spiel vorzeitig abbrechen will. Es kommt also auf jeden Fall dazu, daß der Moderator eine Tür mit einer Niete öffnet. Letztlich gibt einem der Moderator damit eine Information über beide nicht gewählten Türen, womit effektiv die Fragestellung darauf hinausläuft, nehmen wir eine Tür oder nehmen wir ein Doppelpack aus B und C. Es ist tatsächlich so, daß in diesem Fall die Chancen bei einem Wechsel doppelt so hoch sind. Mit unserer ersten Wahl hatten wir eine Chance von 1/3, und wenn wir wechseln, bekommen wir das Komplementärereignis, und damit 2/3.

Die andere Fraktion verstand die Aufgabe so, daß der Moderator nicht weiß, hinter welcher Tür der Gewinn ist, und selbst raten muß. Damit kann es natürlich passieren (und zwar mit 1/3), daß der Moderator selbst den Gewinn zieht und dann einen Spruch wie “Das wäre Ihr Preis gewesen” ablassen muß. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Moderator hier zufällig eine Niete zieht, wir also überhaupt erst denn Fall der Aufgabenstellung erhalten, beträgt 2/3. Und diese 2/3 teilen sich dann auf in 1/3 für Tür A und 1/3 für Tür B, also dann je 50%. Das setzt aber eben voraus, daß ein Fall, daß nämlich der Moderator selbst gewinnt, möglich ist, was in der ersten Interpretationsart per Spielregel ausgeschlossen ist.

Es ist keine Seltenheit, daß vermeintlich wissenschaftliche Fragestellungen, bei denen eine Meinung über die andere zu triumphieren können glaubt, eigentlich nur auf unpräzise Fragestellungen zurückgeht.