Gender-gerechtes Idiotenabitur made in Berlin
Lest mal das da. Abituraufgaben in Mathematik, für die man nicht mehr rechnen und nicht mehr denken muss. Angeblich von der Humboldt-Universität. Abituraufgaben in Analysis, in denen keine Analysis vorkommt.
78 Kommentare (RSS-Feed)
Das Studium hat mir den Spass an Mathe versaut (Ingenieurmathematik mit für Informatik absolut nutzlosen Themen und brachial schlechten Dozenten…). Seit 20 Jahren hab ich daher kein Fatz Analysis mehr angeschaut geschweige denn gerechnet (vektorielle analytische Geometrie ausgenommen).
Die “Abitur”-Aufgabe hatte ich nach 2 Minuten komplett gelöst.
Naja – im Eifer des Gefechts muss man da schon ein klein wenig nachdenken.
Als abiaufgabe ist es allerdings lächerlich.
naja, also komm. Dass das Ding nur für Werte ab Eins definiert sein kann, nach rechts oben weggeht und wo die Nullstellen sind das springt einen doch an.
Sowas hat doch nichts mit Nullstellensuche zu tun, zumal man sie auf der Grafik sogar noch hinterhergeworfen bekommt.
Aufgabe a) und b) sind absoluter Standard für ein Matheabitur und das schon seit mindestens 15 Jahren. Damals waren, aus mir unbegreiflichen Gründen, die Leute auch nur teilweise in der Lage das zu lösen. Über Aufgabe c) lässt sich streiten, geht aber meiner Meinung nach in die Richtung “Leistungsschwachenförderung”, damit die die nächsten Aufgaben lösen können. Das ist aber auch mit der Angabe von Teilergebnissen vergleichbar und das ist mit Sicherheit auch mindestens seit 15 Jahren üblich.
Anhand der drei Teilaufgaben würde ich jetzt keine Rückschlüsse über die Gesamtschwierigkeit ziehen wollen. In jedem Teilbereich (Analysis, Stochastik, lin. Geometrie) sind solche leichteren Aufgaben zum Punktesammeln dabei.
Aus meiner Sicht, habe ich aber auch festgestellt, dass der Stoff heutzutage in Mathe und Physik nicht mehr so ins Detail geht. Gerade Physik wurde schon sehr frauenfreundlich (weniger exakt rechnen, mehr auswenig lernen, ähnlich wie Bio) im Zuge des G8 gemacht.
Der Finanzhai nimmt flüsternd den Grünen beim Arm: „Halt du sie dumm*, – ich halt’ sie arm!“
*genauso, wie du es bist
Ich habe kein Abitur, als ‘nur’ Systeminformatiker konnte ich es trotzdem lösen. Musste aber nachdenken, zwei Minuten habe ich schon gebraucht. Ich denke, a bisserl mehr als _nur_ diese Aufgabe braucht’s aber für’s Mathe-Abitur, oder? Das ist nur eine Aufgabe von mehreren.
Ihr versteht das falsch, Mathe braucht keiner mehr, sondern Kompetenzen 🙂
cu
@ ex_pyx
>Das Studium hat mir den Spass an Mathe versaut (Ingenieurmathematik mit für Informatik absolut nutzlosen Themen und brachial schlechten Dozenten…)
Dito! E-Technik … aber langsan habe ich doch wieder Spaß dran gefunden … als Hobby. 🙂
“naja, also komm. Dass das Ding nur für Werte ab Eins definiert sein kann, nach rechts oben weggeht und wo die Nullstellen sind das springt einen doch an.
Sowas hat doch nichts mit Nullstellensuche zu tun, zumal man sie auf der Grafik sogar noch hinterhergeworfen bekommt.”
Ich kann nur für Bayern reden (insbesondere für die Situation um 2000 rum) und da war das selbst im LK teilweise normal für 2 Punkte so einfache Nullstellen und Definitionsmengen zu finden. Und wie gesagt, selbst da gabs einige in meinem Kurs, die sich bei sowas verrechnet haben, von denen im GK ganz zu schweigen.
Habe jetzt hier nochmal die Abiaufgaben von damals angeschaut: http://www.abiturloesung.de/abitur
Ich muss tatsächlich sagen, die dargestellten Aufgaben in obigem Beispiel wurden bei mir in der 11. Klasse behandelt. Fürs Abitur war e-Funktion und ln Hauptthema. Die Punkteverteilung (wenn man mal das pdf anklickt), ist tatsächlich auch etwas hoch. Ganze 5 Punkte… meiner Meiung nach auch etwas hoch.
Wie gesagt, ich würde es jetzt nicht soo streng sehen, zumal nicht klar ist, was danach sonst noch geprüft wird.
Ich finde die Aufgabe ist ganz gut als einfache Aufgabe. Und das ist sehr wohl Analysis. Im Prinzip wird abgefragt ob man so eine Funktionsvergleichug versteht und ob man weiß, was die Wurzelfunktion ist und, wie man grafisch -f bekommt wenn man f bereits kennt.
Das ist alles elemtares Wissen, aber das wird völlig zurecht abgefragt.
Ist vielleicht sogar sinnvoller als die Schüler immer stumpf ableiten zu lassen.
Wurzelziehen ist auch für negative Zahlen definiert (habe ich im Studium so gelernt (*Publikum: Streber*)). Und damit das schön eindeutig wird (also Wurzelziehen eine Funktion ist), definiert man einen Hauptwert oder Hauptzweig.
Aber auch wenn man solche Klugsch…erei weglässt, ist die Forderung nach Maximalität des Definitionsbereiches schlicht in der Form nicht sinnvoll, sondern lediglich dann, wenn man eine obere Schranke des Definitionsbereiches (in diesem Fall wohl R, die reellen Zahlen) angibt.
Ich könnte noch mehr dazu schreiben, aber das würde lediglich Mathematiker interessieren – und die wissen das sowieso alles. 🙂
TLDR: Auch den Aufgabenstellern der Abituraufgaben mangelt es massiv an mathematischem Grundwissen.
> Wurzelziehen ist auch für negative Zahlen definiert
Jain.
Aber erstens passt eine x/y-Ebene nicht zu komplexen Zahlen, zweitens stimmt es nicht, dass Wurzelziehen für negative Zahlen definiert ist, sondern eben nur auf der Menge der komplexen Zahlen.
Das setzt aber voraus, dass die da überhaupt gegeben sind. Davon steht da nichts. Meines Wissens werden komplexe Zahlen in der Schule auch nicht mehr gelehrt.
Was allerdings auf ein Problem hindeutet, das ich auch übersehen habe: Es steht nämlich auch nichts von Reellen Zahlen da (obwohl die Wurzel schon stark darauf hinausläuft).
Also meiner Ansicht nach ist es der Graph IV und nicht Graph I, wie in der Lösung (Erwartungshorizont ha ha!) angegeben wurde oder täusche ich mich da?
@Orlando: Ja, aufgrund des zweiten Faktors wird das Ding ab 1 erst mal negativ, um dann bei 3 1/5 positiv zu werden. Das wäre Graph IV.
Wieso, wo steht denn was von Graph I ?
Ich habe einfach mal alle 3 Aufgaben aus dem Analysisbereich gelöst. Aus dem Kopf und zusammen keine 5 min gebraucht. Bei linearer Algebra ist das Niveau noch niedriger. Außer “Zeile mal Spalte” wird dort keine Kenntnis gefordert.
Ob diese Entwicklung nun gut ist? Ich weiss es nicht. Zu Beginn meines Studiums saßen da einige, die “Niedersachsen sei dank” Mathe nach der elften Klasse abgewählt haben. Das ist, meine ich mittlerweile nichtmehr möglich.
Ich kann nur soviel sagen, dass jene fachübergreifend (TU) ziemlich am K(l)otzen waren. Ob die ihr Defizit jemals ausgebügelt haben kann ich nicht beurteilen.
Dem Schüler gegenüber ehrlicher wäre da meines Erachtens eine Regelung wie in Frankreich.
Die haben i.d.R. 3 verschiedene Oberstufen. S-Scientifique, ES – Economique et sociale und L – Litteraire.
(In)Konsequenter Weise kann man sich mit dem BAC S an jeder Hochschule bewerben (und wird bevorzugt genommen), gefolgt von ES und schließlich L, welches im Groben nur ein Studium der Philosophie ermöglicht.
Die Realität ist dennoch etwas komplizierter, da man sich an einer normalen Uni trotzdem mit jedem BAC für jeden Studiengang einschreiben kann – nur rangiert die Uni in Frankreich meilenweit unter den Hochschulen. Klingt komisch ist aber so.
Um sich alle Möglichkeiten offen zu halten machen die Schlauen i.d.R. ein BAC S, auch wenn es sie weder interessiert, noch sie sich selbst in dieser Richtung sehen.
Aber, wenigstens gehen die Schüler, welche ES oder L machen nicht davon aus später TOP-Wissenschaftler werden zu können.
Natürlich kann man vieles durch harte Arbeit wieder ausbügeln, es wird nur mit dem Alter nicht einfacher.
Besser früher fordern. Das bringt das Individuum weiter im Leben und täte der Wissenschaft gut. Das Studium nützt einem m.E. dann optimal, wenn man sich um grundlegendes keine allzugroßen Gedanken machen muss und sich früh mit spezifischem auseinandersetzen kann. Außerdem finden Vorlesungen wie Strömungsmechanik I und Mathe I/II häufig im selben Semester statt – auf gut deutsch: Es ist kaum möglich in Strömi mitzukommen, wenn man den Stoff aus Ing-mathe I/II nicht schon zu Schulzeiten verstanden hat.
beste Grüße
Roy Dick
Laut
http://www.iqb.hu-berlin.de/bista/abi/bista/abi/mathematik/dokumente/Aufgabensammlung_2.pdf
gibt es für eine komplette Abiturprüfung 100 oder 120 “Bewertungseinheiten”, in jedem der 3 Teilgebiete (Analysis, LinAlg, Stoch.) werden 2 Aufgaben gestellt (Prüfungsteile A bzw. B), und A ist ohne, B mit Hilfsmitteln (Taschenrechner oder dgl.) zu bearbeiten. Die hier aufgespießte A-Aufgabe hat 5 “Bewertungseinheiten”, die Analysis-B-Aufgabe 40 oder 50, und die ist auch von der inzwischen* klassischen Abituraufgabenmachart einer Kurvendiskussion.
*Das war nicht immer so, um 1900 scheinen in der Prima höherer Lehranstalten Kegelschnitte das Hauptthema gebildet zu haben, das allerdings in einer Weise, bei der heutigen Schülern vermutlich die Köpfe platzen würden. “Jede Seite eines Dreiecks wird durch die zugehörige Gegenmittellinie und den Mittelpunkt des Kreises von Apollonius harmonisch geteilt”. Das ist eine der nicht als “schwieriger” gekennzeichneten Aufgaben aus einem einschlägigen Buch (J. Lange, Synthetische Geometrie der Kegelschnitte nebst Übungsaufgaben für die Prima höherer Lehranstalten, Berlin 1900)
Joah, ist recht einfach.
Kommen auch Analysis-Aufgaben im Abi vor?
@Hadmut:
“Ja, aufgrund des zweiten Faktors wird das Ding ab 1 erst mal negativ, um dann bei 3 1/5 positiv zu werden. Das wäre Graph IV.”
Das stimmt schon, aber lies Dir Aufgabe c) nochmal genau durch, dann wirst du merken das g(x) = -f(x)
Also Graph I
Dabei kommt dann das raus:
https://www.youtube.com/watch?v=4pQhZcYxQAM
> Abituraufgaben in Analysis, in denen keine Analysis vorkommt.
Die zitierte Aufgabe ist Analysis. Auch wenn der Schwierigkeitsgrad sehr niedrig ist und der letzte Aufgabenteil etwas enttäuscht. Hier wäre ein eigenes Skizzieren des Funktionsgraphen weniger langweilig. In den vier Auswahlmöglichkeiten hätte man statt der Vorzeichenspielerei besser auch Graphen genommen, die die x-Achse nur berühren und nicht schneiden.
Ebenso hätte man die Frage nach den Nullstellen ersatzlos streichen können und hätte damit die Abfrage des Verständnisses _verbessert_.
Man merkt halt, dass die Aufgabe auf einfache Korrektur getrimmt ist.
P.S.: Wo man — wie in der Schulanalysis — meist nur (reellwertige) Abbildungen betrachtet, die auf Teilmengen der reellen Zahlen definiert sind, erwähnt man das häufig nicht mehr besonders. Das ist natürlich nicht so toll, weil man den Leuten später erst mal klarmachen muss, dass die Angabe von Definitions- und Wertebereich von vornherein Bestandteil der Definition einer Abbildung ist. Weil die Schulmathematik aber sowieso nicht über den Stand des 19. Jahrhunderts hinausgekommen ist, fällt das auch nicht mehr besonders ins Gewicht.
P.P.S.: früher war die Schule auch nicht besser. Aber wenigsten war sie nach dem Abi zu Ende. Heutzutage wird sie im Studium fortgesetzt (inklusive “Elternabende”). Das ist die Tragödie.
@ Hadmut
Siehe hier: http://www.iqb.hu-berlin.de/bista/abi/bista/abi/mathematik/aufgaben_grundlegend/Aufgabensammlung.pdf
Da gibt es die Aufgabe mit Erwartungshorizont, sprich Lösung.
@ Orlando
Bestimmen wir kurz, welche der Kurven f(x) sein muss. Fuer x gegen +unendlich fallen 8/5, 1/2 und -1 als konstante Faktoren weg. Was bleibt ist ist sqrt(x) mal x. Das strebt offenbar gegen +unendlich, da beides positiv und multiplikativ verknüpft. Die Definitionsmenge verbietet uns die linken Graphen II und III wegen der sonst negativen Wurzel. I strebt gegen -unendlich, also muss es IV sein.
Aufgabe: Welcher Graph stellt g(x) = – f(x) dar?
Gut. Was heißt – f(x)? Naja, f(x) wird auf der Y-Achse aufgetragen, also heißt umkehren, die Funktion an der X-Ache zu spiegeln. Unter der Annahme, dass Graph IV f(x) ist, tut das Graph I.
Ne, die Musterlösung stimmt. Gesucht ist der Gaph für -f(x), nicht f(x).
Das erinnert mich an eine Aufgabe aus der Grundschule, die damals zwei Schüler in der Klasse richtig hatten: “Hans hat ein Brett, dass einen Meter lang ist. Hans zersägt das Brett vier Mal. Wie lang ist ein Stück?”
Nein, das ist nicht wörtlich, aber ja, das Original war ebenfalls so gestellt, dass man darauf bestehen konnte, dass er unterschiedliche Stücke sägt, längs sägt, doppelt nimmt etc.
Tatsächlich interessant war aber, dass am Elternabend eine ganze Menge Eltern nicht verstanden, warum ihr Kind für 25cm als Antwort keine Punkte bekam. Man musse ihnen erst aufmalen, wie es aussieht. Heute weiß ich, dass da ein Witz über den in der Informatik weit verbreiteten “Fencepost”- oder “Off-By-One”-Error drinsteckt 😉
Ich bin mir nicht so sicher, ob sich das hier für’s Abiturbashing eignet. Die Aufgabe ist die allererste aus der Sparte “grundlegendes Niveau”. Ich habe mir den Rest nicht angesehen, aber als absolut unterste Hürde scheint mir das nicht grundsätzlich schlecht. Man bedenke auch, dass man sich nicht mit dem ersten Punkt von 0 Punkten als Note wegbewegt. Da muss ein Totraum überwunden werden. Wenn ein Schüler nur 1-2 Aufgaben von der Sorte lösen kann, bekommt er als Note immer noch die runde Null.
Stellt man den Schülern nur Aufgaben, die eigentlich ein vollständiges Durchdringen des Unterrichts voraussetzen, also das, was zu 15 Punkten führen sollte, dann klappt das ganze Mittelfeld zusammen. Von daher ist es durchaus richtig, Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsgraden (und Themengebieten) zu stellen, so dass “nur gute” Schüler an den letzten Teilaufgaben scheitern und mit 11 Punkten heimgehen, eher schlechte Schüler aber die Möglichkeit haben, bei den einfacheren Aufgaben den Teil der Fertigkeiten zu demonstrieren, der sie dann zurecht auf 5 Punkte, aber nicht mehr, bringt.
Wenn hier ein Schüler die Aufgaben nicht nach dem klassichen Analysisscheme löst, sondern sieht, dass es einfacher geht, ist das imo sogar eine zurecht honorierte Transferleistung. Dann hat er offenbar einen Zusammenhang verstanden…
Die Frage ist jetzt, wie weit es von dieser Aufgabe nach oben geht. Dafür reicht es aber nicht, die erste Aufgabe aus dem “grundlegenden Anforderungsprofil”, oder wie auch immer sie es auch nennen, zu lesen und darüber zu lachen, dass sie einfach ist. Dafür müsste man die anderen Aufgaben auch lesen und dazu dann noch, wie sich eine Prüfung aus den Aufgaben zusammensetzt.
Ich habe wenig Zweifel daran, dass das Niveau nicht sonderlich hoch wird und im Vergleich zu früheren Jahrzehnten gesunken ist. Aber ohne Ansicht der Tatsachen das Ergebnis zu verkünden ist Stammtischgejohle.
@ mathematician
Dann hast du Halbwahrheiten gelernt. Die Operation “Quadratwurzel” ist fuer x < 0 nur in der Ergebnismenge der komplexen Zahlen oder evtl. einer Menge die die komplexe Zahlen als Teilmenge enthaelt, definiert :p
Die Aussage "ist definiert" ist ohne Kenntnis der dafür nötigen Voraussetzen nicht viel Wert. Das kann man so weit treiben, bis man bei den Peano-Axiomen ankommt. Oder sich darüber streitet, dass man das Wurzelsymbol ja umdefiniert haben könnte.
Klugscheißen ist in Mathematik immer gefährlich. Es kommt fast immer, der einen draufsetzen kann.
Da diese Aufgabe einem gemeinsamen Pool der Kultusministerkonferenz entstammt und es wohl schon ab 2016 ein bundesweit einheitliches Abitur geben soll, muß man davon ausgehen, das man da bereits völlig genderistisch durchsetzt ist und tatsächlich das Abitur für alle anstrebt. Zum Vergleich hier mal eine Aufgabe einer Realschule in Bayern:
http://www.realschulrep.de/mittlerereife/mediafenster/1736_2011_02_23_math_real_2010_kl10_B1_becker/960/flv960
Der Graph I ist richtig: Es ist nach g(x)=-f(x) gefragt…
Schon durchgefallen! =)
Diese Aufgabe war im Bereich “Aufgaben für das Fach Mathematik zum grundlegenden Anforderungsniveau” zu finden – und da passt sie natürlich auch gut rein.
Ist halt eine Aufgabe für die Note vier.
Die Aufgaben zum erhöhten Anforderungsniveau sind (zumindest in Analysis) meiner Meinung nach als Prüfungsaufgaben durchaus tauglich.
Ich hab die jetzt nicht nachgerechnet, sehe aber, dass man für eine ordentliche Lösung da schon eine gewisse Zeit brauchen wird – und die ist in den Prüfungen ja immer eher knapp.
ähhh…hadmud….ähhh…durchgefallen…ähhh…ja, ne, also da steht ja welcher graph für -f(x) correct ist.
Aber vieleicht war das garnicht die Matheaufgabe sondern die Leseübung 😛
@ Gedöns
Der Finanzhai nimmt flüsternd den Grünen beim Arm: „Halt du sie dumm*, – ich halt’ sie arm!“
Warum sollte der Finanzhai Interesse daran haben, die Bevölkerung arm zu halten? Dann benötigen die seine Dienste gar nicht, sie haben nichts anzulegen und der gewinnträchtige Sinnloskonsum auf Pump findet dann auch nicht statt. Also, warum sollte ausgerechnet der Finanzhai Interesse an Armut haben?
Wenn du den Finanzhai durch den “Linken” ersetzt, dann bekommt der Spruch wieder Sinn. Denn es sind die Linken, die von der Armut profitieren wollen. Als Wählerreservoir, dem sie nur Wohlstand und Sozialleistungen versprechen müssen, um die Stimmen zu bekommen.
Es sind die Linken, die sich versprechen, von Armut profitieren zu können. Nicht die Finanzhaie, die interssieren sich nur für Leute, die bereits Geld haben und die Kredite auch mit Zinsen zurückzahlen können.
Finanzfreie Grüße,
Euer Dirk
@Orlando: Weil die Funktion g(x)= MINUS f(x) gefragt ist
gegeben:
f(x) = sqrt(x-1) (x/2 – 5/8)
g(x) = -f(x)
also:
-f(x) = -[sqrt(x-1) (x/2 – 5/8)]
-f(5) = -[sqrt(x-1) (x/2 – 5/8)]
= – 3.75
(5|-3.75) liegt auf Graph I
Der g(x)-Graph entspricht Abbildung 1.
g(x) = -f(x), damit ist es Kurve I. Orlando sollte mal die Aufgabe lesen und verstehen, sonst wird das nix mit dem Abi.
Ich kann mich erinnern, wir mussten 96 nicht nur wirkliche Kurvendiskussionen machen, sondern die auch Anwenden. d.h. es gab ein Problem, das man mit Hilfe der Analysiskenntnisse lösen musste.
Ich glaube, das hatte etwas mit maximalem Inhalt bei geringstmöglicvhem Materialeinsatz zu tun oder so etwas.
Wer da nicht wusste, in welchem Zusammenhang die Fläche unter einer Kurve dabei steht und wie man die berechnet, hatte bei der Aufgabe keine Chance.
Nix von wegen: Zeigen sie auf eins der 4 bunten Bilder und begründen sie, warum es das Schönste ist.
Mein Mathe LK Lehrer (ein Genie in seinem Bereich, sowohl fachlich als auch von der Art und Weise, das nicht triviale Wissen rüberzubringen) würde wohl nur mit dem Kopf schütteln.
Zitat aus einer Unterrichtsstunde:
“He, Sie müssen hier schon aufpassen und nicht in Gedanken…. Rotkäppchen spielen. (dreht sich wieder zur Tafel, rhetorische Pause – dreht sich wieder zur Klasse zurück mit ernstem Blick) “Sie wissen, was mit Rotkäppchen passiert ist?!”
Der LK Kurs war übrigens einer seiner Besten, wie er später auf Klassentreffen immer wieder betonte.
Hach, die guten alten Zeiten.
Nur so zur allgemeinen Bildung:
“Wurzelziehen ist auch für negative Zahlen definiert (habe ich im Studium so gelernt (*Publikum: Streber*)). Und damit das schön eindeutig wird (also Wurzelziehen eine Funktion ist), definiert man einen Hauptwert oder Hauptzweig.”
Wurzelziehen als *Operation* wird fast ueberall nur fuer nichtnegative reelle Zahlen definiert. Es gibt beweisbarerweise keine “algebraische” Moeglichkeit, fuer die komplexen Zahlen die Wurzel eindeutig zu machen — die “Hauptzweige” sind willkuerliche Konstrukte, die in “richtiger” Mathematik wohl praktisch nicht verwendet werden, sie sind ohne mathematischen Wert — relevant sind die Zweige, nicht die willkuerliche Auswahl eines davon, was wiederum beweisbarer Weise nicht auf allgemeine Gleichungsklassen ausgedehnt werden kann (berechenbar; sowas wird in der Theore der Computeralgebra-Systemen ausfuehrlich diskutiert).
Zur Aufgabe: An den reellen Zahlen wuerde ich mich nicht aufhaengen. Komplexe Zahlen wurden auch 1984 (mein Arbitur) meines Wissens nicht mehr gelehrt an den Schulen (es wurde aber mathematisch korrekt formuliert, d.h., die Menge der reellen Zahlen wurde explizit angesprochen in den Abituraufgaben).
Die Aufgabe selbst ist zutieft deprimierend. Sagen wir 20s fuer die Loesung — und das waere 1984, zu meiner Abiturszeit, nur schneller gewesen, da ich mehr drin war in solchen Ueberlegungen.
Meine Abituraufgabe in Mathematik (okay, Leistungskurs, was hier *hoffentlich* nicht der Fall ist) war schon deutlich komplexer. Sicher, nicht-Leistungskurs muss einfacher sein, aber eine solche Trivialitaet.
Wie maddes8cht auf der zitierten Seite schreibt:
“Graph I oder IV:
Richtig, beim flott drüberlesen, grade weil die Aufgabe so entsetzlich trivial ist, übersieht man leicht, dass da die funktion -f abgefragt wird.
Die “Schwierigkeit” der Aufgabe verlegt sich damit auf rethorische Spitzfindigkeiten, auf die man aufpassen muss, anstatt auf mathematische Schwierigkeit.”
Das ist also eine kleine Falle, die gerade einen besseren Schueler treffen wird.
In der Lösung steht Graph I, weil der Graph für g(x) = -f(x) gefragt ist. Also f(x) ist Graph IV, g(x) Graph I.
Es fehlt auf jeden Fall der Hinweis “D € R” (Definitionsbereich D ist Element der reellen Zahlen). Sonst ist D eben I (komplexe Zahlen), weil es eine negative Wurzel für x Meines Wissens werden komplexe Zahlen in der Schule auch nicht mehr gelehrt.
Jain. Ich hatte das damals in der 13. Klasse als “Bonusstoff”. Es ist also nicht Voraussetzung fürs Abitur, kann allerdings gelehrt werden.
@Hadmut: In der Aufgabe ist g(x) = -f(x) verlangt. -f(2) = 3/5 => Graph I.
@Hadmut auf der verlinkten Seite ist ein Link “Aufgabe”: http://www.iqb.hu-berlin.de/bista/abi/bista/abi/mathematik/aufgaben_grundlegend/Aufgabensammlung.pdf
> Wurzelziehen ist auch für negative Zahlen definiert
Auf der Menge der reellen Zahlen ist das ganz sicher nicht der Fall.
Man widerlege mich, indem man mir eine reelle Zahl nennt, deren Quadrat eine negative Zahl ergibt.
@Hadmut: Muss mich korrigieren. Es war nach dem Graph von g(x) = -f(x) gefragt. Damit war’s doch richtig
.
Noch einige Anmerkungen zur Einschaetzung der Aufgabe:
Die Aufgabe fragt im Wesentlichen Begrifflichkeiten ab. Es geht um das grundlegende Verstaendnis von Begriffen wie “Definitionsbereich”, “Funktion” etc. Entweder kann der Schueler das, und dann ist die Aufgabe einfach, oder er kann es nicht, und dann ist die Aufgabe unloesbar. Ich halte es fuer unwahrscheinlich, dass man laengere Zeit sinnvoll bei dieser Aufgabe verweilen kann. Hierbei muss man noch bedenken, dass die Schueler auf solche Aufgaben vorbereitet werden.
Es ist also mehr eine Art Ankreuzaufgabe. Wenn nun fuer Nicht-Leistungskursler sagen wir 10 solcher Aufgaben in einer 2-Stunden-Klausur gestellt werden (ueber die ganze Bandbreite), dann schiene mir das in Ordnung. Es waere eine Klausur, die mehr auf Begrifflichkeiten abstellt, diese aber nicht in Definitionsform abfragt, sondern an Hand von Beispielen.
Auf
findet man
“Eine Prüfungsaufgabe für die schriftliche Abiturprüfung im Fach Mathematik besteht aus mehreren Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitet werden. Jede Aufgabe kann in Teilaufgaben gegliedert sein, die jedoch nicht beziehungslos nebeneinander stehen sollen;
bei Aufgaben, die ohne Hilfsmittel zu bearbeiten sind, muss eine Beziehung zwischen möglichen Teilaufgaben nicht bestehen.”
Nehme mal an das bedeutet hoechtens vier solcher Aufgaben(?).
Die Aufgabe ist von
http://www.iqb.hu-berlin.de/bista/abi/mathematik/aufgaben_grundlegend
also das “grundlegende Aufgabenniveau”.
Finde nirgendswo, wieviel Zeit fuer diese Aufgabe vorgesehen ist.
Man kann also mit ziemlicher Sicherheit feststellen, dass ein Schueler, dier hier ein “gut” bekommt (11 Punkte), von den Begriffen gehoert hat, aber nur sehr obeflaechlich.
Bzgl. des Problems mit “- f(x)”: Ich glaube, dass liegt nur in der Internetdarstellung vor. Erstens ist der “Abdruck” auf der Seite recht klein, und zweitens liest man schnell im Browser, waehrend fuer die Aufgabe auf Papier, wo ja auch durch “g(x) = -f(x)” der kleine Unterschied hervorgehoben wird, wohl keine Probleme bestehen.
Es ist also bloss eine winzige Steigerung des Schwierigkeitsgrades fuer die Klausur (und das Uebersehen wohl nur ein Internetphaenomen).
> Man widerlege mich, indem man mir eine reelle Zahl nennt, deren Quadrat eine negative Zahl ergibt.
Um eine faire Chance zu liefern, möchte ich auf eine Schwierigkeit hinweisen: Aus den Ordnungsaxiomen folgt, dass das Produkt zweier negativer Zahlen stets positiv ist.
@Orlando: Ja, aufgrund des zweiten Faktors wird das Ding ab 1 erst mal negativ, um dann bei 3 1/5 positiv zu werden. Das wäre Graph IV.
Wieso, wo steht denn was von Graph I ?
Ich antworte mal … es ist nach dem Graphen von g(x)=-f(x) gefragt, deswegen ist Graph I die richtige Lösung.
Ich halte die Aufgabenstellung in der Stelle aber für pure Gemeinheit, weil jeder der sich mit dem Inhalt auseinandersetzt, solch eine Stelle sehr schnell übersieht, insbesondere wenn man unter Zeitdruck ist.
Leute, jetzt bleibt mal auf dem Boden.
Ich habe nicht gesagt, dass das die Lösung der Aufgabe ist, sondern die Funktion beschrieben und auf eine Frage eines Kommentators zum “Erwartungshorizont” geantwortet, den ich nicht kenne. Unter “Erwartungshorizont” verstehe ich erst mal, dass es darum geht, worauf die Aufgabe abzielt.
Philipp hat das aber aber richtig bewertet:
> Ich halte die Aufgabenstellung in der Stelle aber für pure Gemeinheit, weil jeder der sich mit dem Inhalt auseinandersetzt, solch eine Stelle sehr schnell übersieht, insbesondere wenn man unter Zeitdruck ist.
Stimmt. Denn solche Dreckigkeiten haben nichts mit Mathematik oder Analysis, sondern schlicht mit reinlegen zu tun.
Man will Textverständnis und Fleißlesen gegen Mathematik ausspielen.
Erinnert mich an diese Idioten-Tests, die vor 20 Jahren mal rumgingen, bei denen oben stand, man soll erst mal lesen, dann kamen 19 sauschwere Aufgaben mit auf den Tisch steigen und sowas, und in der 20. Aufgabe stand, man soll keine der Aufgaben bearbeiten. Das hat aber nichts mit Wissen, Können oder Intelligenz zu tun, sondern eher mit dem Versuch, den, der das verlangte Wissen und Können hat, irgendwie reinzulegen.
Ziel solcher Aufgaben ist, den, der es kann, künstlich mit dem, der es nicht kann, auf ein Niveau zu stellen bzw. Leute, die nichts können, sogar höher zu bewerten.
Widerlich.
Spannendere Fragen:
Wieviele Punkte mit rein rationalen Koordinaten hat die Kurve?
Mit welcher Methode findet man diese Punkte?
Wie zeigt man, dass man damit alle Punkte mit rein rationalen Punkten findet?
Kann man eine Algebra auf diesen Punkten definieren?
…
Mit meinem Abi nördlich der Mainlinie, bekomme ich das nicht so hoppla hop hin. Vielleicht schreibt da mal jemand schnell eine Lösung.
@Knut:
> Wieviele Punkte mit rein rationalen Koordinaten hat die Kurve?
Interessante Frage. Also x und f(x) rational.
a) Bei den Nullstellen.
b) Der rechte Klammerausdruck ist genau dann rational, wenn x rational ist. Ist der Klammerausdruck ungleich Null, kann man f(x), das ja auch rational sein soll, durch den rechten Ausdruck dividieren, und erhält Lösungen genau dann, wenn Wurzel aus x-1 rational ist. Das ist also eine notwendige Voraussetzung. Die ist aber – mal so aus dem Stand geschätzt – genau dann rational, wenn im Zähler und Nenner in gekürzter Darstellung von x-1 alle Primfaktoren paarweise vorkommen, weil Wurzel(a*b) = Wurzel(a)*Wurzel(b) und Wurzel(a/b) = Wurzel(a)/Wurzel(b). Kommen sie nicht paarweise vor, hat man eine irrationalen Faktor drin.
Umgekehrt ist die Bedingung aber hinreichend, weil wenn das für x-1 so gilt, es für die ganze Funktion gilt, der Rest dann auch rational ist.
Damit könnte man es aber mit dem Diagonalisierungsverfahren aufzählen (und finden!), denn im Prinzip zählt man alle rationalen Zahlen auf und verwendet die, bei denen x-1 auf einen Bruchdarstellung mit paarweisen Primfaktoren hinausläuft.
Also wurde ich vermuten, dass es abzählbar unendlich viele Punkte gibt.
> Kann man eine Algebra auf diesen Punkten definieren?
Müsste ich nochmal drüber nachdenken. Denn es gilt nicht unbedingt, dass wenn x1 und x2 solche Werte haben, auch x1+x2 solche Werte haben. Auch nicht x1*x2 (wegen des -1). Käme drauf an, ob man Operationen findet, die abgeschlossen sind.
Wie kommst Du jetzt auf die Fragestellung?
@Orlando: “Also meiner Ansicht nach ist es der Graph IV und nicht Graph I, wie in der Lösung (Erwartungshorizont ha ha!) angegeben wurde oder täusche ich mich da?”
Das ist genau die Pfuscharbeit, die mir häufiger Punkte gekostet hat.
Die Aufgabe ist der Graph für g(x) = -f(x)!
Passiert aber vielen. Siehe Brücken, die aufgrund von Vorzeichenfehlern eine etwas höher Stufe beinhalten.
@Phil
@Hadmut
Ich halte die Aufgabenstellung in der Stelle aber für pure Gemeinheit, weil jeder der sich mit dem Inhalt auseinandersetzt, solch eine Stelle sehr schnell übersieht, insbesondere wenn man unter Zeitdruck ist.
Nö ist es nicht, es ist nur die Einser Bremse.
Also das kann ich jetzt nicht so sehen:
“Stimmt. Denn solche Dreckigkeiten haben nichts mit Mathematik oder Analysis, sondern schlicht mit reinlegen zu tun. ”
g(x) = -f(x)
Leute es geht hier ums Abitur!
Da sollte man auch gut und aufmerksam lesen können!
Also wer sowas (auch im Prüfungsstress) überliest ist halt kein Einser Kanditat!
In der 4ten Klasse eines meiner Kinder werden in der Geometrie mögliche und unmögliche Figuren gemischt, wird einer unmögliche Figur als richtig erkannt wird dieser Punkt ABGEZOGEN!!
Da ist das in Berlin harmlos (Allerdings werden die Schüler auch darauf hingewiesen, wer falsche Antworten gibt, bekommt Punkteabzug).
cu
> Leute es geht hier ums Abitur! Da sollte man auch gut und aufmerksam lesen können!
Ich halte nicht viel von solchen Detail-Tricks. Prüfungsaufgaben sollten die festzustellende Befähigung und den Prüfungsstoff messen, und nicht irgendwas anderes.
Abgesehen davon, dass ich hier nicht im Abitur sitze, sondern nebenbei blogge, während ich noch jede Menge andere Sachen mache.
Die ersten Teilaufgaben waren auch schon früher sehr simpel um ‘reinzukommen’, das Niveau wächst dann mit jeder weiteren Teilaufgabe.
Verstehe das ganze hysterische Gekreische hier nicht, geht ja eher mehr in Richtung Gepose: “Ich bin der Matheheld, ich machs nicht unter nem Dreifachintegral, habe die Aufgabe ohne sie zu lesen gelöst”.
@Hadmut
> Wurzelziehen ist auch für negative Zahlen definiert
Jain.
Aber erstens passt eine x/y-Ebene nicht zu komplexen Zahlen, zweitens stimmt es nicht, dass Wurzelziehen für negative Zahlen definiert ist, sondern eben nur auf der Menge der komplexen Zahlen.
Wurzelziehen kann man trivial für negative Zahlen als der Hauptwert der komplexen Wurzelfunktion definieren. Das Ergebnis ist dann halt keine reelle Zahl – shit happens. Ähnlich wie die Funktion: +: R^2 -> R ein Paar von rellen Zahlen entgegennimmt, aber kein Paar reeller Zahlen (sondern eine einzelne reelle Zahl) zurückgibt, ist die so definierte Wurzelfunktion halt eine Funktion R -> C, bei der Definitions- und Wertebereich nicht identisch sind. Wo ist das Problem?
Was allerdings auf ein Problem hindeutet, das ich auch übersehen habe: Es steht nämlich auch nichts von Reellen Zahlen da (obwohl die Wurzel schon stark darauf hinausläuft).
Genau das schrieb ich als
Aber auch wenn man solche Klugsch…erei weglässt, ist die Forderung nach Maximalität des Definitionsbereiches schlicht in der Form nicht sinnvoll, sondern lediglich dann, wenn man eine obere Schranke des Definitionsbereiches (in diesem Fall wohl R, die reellen Zahlen) angibt.
—-
In Bezugnahme auf deine Antwort an Knut
> Kann man eine Algebra auf diesen Punkten definieren?
Müsste ich nochmal drüber nachdenken. Denn es gilt nicht unbedingt, dass wenn x1 und x2 solche Werte haben, auch x1+x2 solche Werte haben. Auch nicht x1*x2 (wegen des -1). Käme drauf an, ob man Operationen findet, die abgeschlossen sind.
Wie kommst Du jetzt auf die Fragestellung?
Wie er auf die Fragestellung kommt, ist mir vollkommen klar: auf elliptischen Kurven (deren Mathematik die Grundlage für die gleichnamige Klasse von krypotgraphischen Verfahren bildet), kann man so etwas machen:
> http://andrea.corbellini.name/2015/05/17/elliptic-curve-cryptography-a-gentle-introduction/
Ebenso gibt es einen Haufen offener Fragen über die Anzahl von rationalen Punkten auf elliptischen Kurven, z.B. hat Manjul Bhargava
> https://de.wikipedia.org/wiki/Manjul_Bhargava
2014 unter anderem dafür eine Fields-Medaille bekommen, dass er dazu ein paar nette Resultate bewiesen hat.
Gerade wegen der hinterfotzigen (-1) sind folgende Bemerkungen mit Verweis auf die strenge Exaktheit der Mathematik nicht mehr großzügig zu übersehen:
– Es fehlt, daß x und f(x) Element der reellen Zahlen sein soll. Dann erübrigt sich nämlich die dumme völlig unmathematische Formulierung „maximaler Definitionsbereich“ und es wird einfach nur noch nach dem Definitionsbereich gefragt. Der „maximale Definitionsbereich“ wäre die Menge der komplexen Zahlen. Oder will man demnächst mit einem „minimalen Definitionsbereich“ die Mathematik noch mehr verunstalten?! Definitionsbereich ist Definitionsbereich und fertig.
– Es ist keiner der dargestellten Graphen: lediglich das „Schaubild“* Graph III ist im Bereich der reellen Zahlen kleiner gleich -1 für alle reellen Zahlen definiert; alle anderen „Schaubilder“ sind unstetige, nicht überall definierte Funktionen (Punkte und Strichlinien). Es kann natürlich sein, daß der Begriff „Schaubild“ extra zu dem Zwecke erfunden wurde, um damit solche graphische Elemente (oder auch Farben) – ja schon die Endlichkeit der Darstellung – als nicht zur Mathematik (der Funktion f) gehörig zu kennzeichnen (was eigentlich selbstverständlich ist), dann ist aber die Verwendung des Begriffes „maximaler Definitionsbereich“ umso doofer.
* Gerade die Unterscheidung zwischen einer Funktion f(x) und ihrem „Schaubild“ g (ja, wirklich: zwei verschiedene Buchstaben!), lese ich neuerdings immer häufiger in Aufgaben, so daß das Minuszeichen vor g noch viel mehr hinterfotziger ist, als ohnehin schon – vor allem für vorher „Schaubild“-genervte Abiturienten.
Übrigens: es gilt auch nicht mehr y=f(x), weil f(x) die wirkliche mathematische Funktion ist, und y zum „Schaubild“ g einer Funktion f(x) gehört und nur noch dort (an die Achse) gemalt werden darf. Die Achsenbezeichng x gehört aber noch zur Funktion f – es fragt sich aber: wie lange noch?! Hier muß eigentlich eine völlig andere Variable her, die zum Ausdruck bringt, daß der (maximale!) Definitionsbereich von f nichts mit dem x-y-Raum zu tun hat!
Merke demnächst: eine Funktion f(h) hat im x-y-Raum das Schaubild g.
Ähm, die Funktion f(h) lässt sich im geometrischen x-y-Raum durch das Schaubild g veranschaulichen.
Fällt mir erst jetzt auf: Sagt mal, beschäftigen sich sich nicht ganze Gender-Lehrstühle Tag für Tag mit „Forschung“ an Begrifflichkeiten bzw. mit Erfindung/ Entdeckung neuer Begrifflichkeiten …?!
@Knut
Q liegt dicht in R. D.h. für jede reelle Zahl x und ein epsilon > 0 findest du eine rationale Zahl y, für die gilt |x-y| q.
D.h. wir kommen zur Fragestellung: Gibt es unendlich viele Quadratzahlen m, die man schreiben kann als m=(p-q), wobei q eine Quadratzahl ist?
Den Beweis für diese Aussage führt man konstruktiv.
Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Setze q = n².
Nehme nun eine zweite Zahl n+1 und quadriere diese. Addiere q und setze p = (n+1)² + q. Durch Monotonität des Quadrats ist garantiert, dass (n+1)² > n². Ferner wird zum Zähler eine positive Zahl addiert. Somit ist der so definierte Bruch sicher >1.
Diese Zahl leistet für jedes n Element N das Gewünschte: Sie ist rational, >1, und nach Subtraktion der 1 und Wurzel ziehen verbleibt eine rationale Zahl.
Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele so definierte rationale Zahlen, die auf der Kurve liegen.
Ferner existiert eine bijektive Abbildung zwischen N und diesen Zahlen, sodass die Menge der rationalen Zahlen, die auf der Kurve liegen, abzählbar unendlich ist.
Man kann natürlich auch p=(n+k)²+q wählen, aber die Abzählbarkeit bleibt gewährleistet.
Um Verwirrungen vorzubeugen:
Man kann unendlich viele Wurzelausdrücke konstruieren, die eine rationale Zahl ergeben. Der rechte Klammerausdruck ist ebenfalls rational, da die rationalen Zahl ein Körper sind. Das bedeutet, dass Addition und Multiplikation auf Q abgeschlossen sind.
Da der rechte Klammerausdruck nur Additionen und Multiplikationen enthält, ist er für rationale Argumente in jedem Fall rational.
Wenn man beliebig viele Wurzelterme findet, die rational sind, multipliziert man zwei rationale Zahlen, die wieder rational sind.
Daher braucht man nur zeigen, dass man unendlich viele Wurzelausdrücke konstruieren kann, die rational sind. Das habe ich oben getan.
Ja, wie man zeigt, dass man tatsächlich alle rationalen Punkte gefunden hat… das fällt mir auf die Schnelle nicht ein.
Mit meiner Methode findet man die sicher nicht alle. Schließlich kann der Bruch ja selber ein Quotient aus rationalen Brüchen sein, z.B.
1/4 / 1/100 = 25, was eine rationale Wurzel ergibt.
Aber das kann man vielleicht irgendwie zurückführen auf eine Konstruktion aus natürlichen Zahlen. Hab ich jetzt aber keine Zeit und Idee zu, obwohl es eine interessante Frage ist.
Ich finde es sehr wichtig, eine Aufgabe zu stellen, deren Lösung man in den nächsten Aufgaben auf dem Silbertablett liefert.
Den Definitionsbereich sieht man im Bild, sofern man sich für 2 der 4 Kurven entscheiden kann …
Die Entscheidung, welche Kurve es ist, kann man mit dem Einsetzen von X=100 ohne jeden Sachverstand leisten …
Dann hat man auch die Nullstellen …
Und die letzte Aufgabe hat man dann auch eigentlich gelöst, wenn man bis 3 Zählen kann…
> Ich halte die Aufgabenstellung in der Stelle aber für pure Gemeinheit, weil jeder der sich mit dem Inhalt auseinandersetzt, solch eine Stelle sehr schnell übersieht, insbesondere wenn man unter Zeitdruck ist.
Stimmt. Denn solche Dreckigkeiten haben nichts mit Mathematik oder Analysis, sondern schlicht mit reinlegen zu tun.
Man will Textverständnis und Fleißlesen gegen Mathematik ausspielen.
Als Mathe-Nachhilfelehrer sag ich meinen Schülern immer:
Lest die Aufgabenstellung genau durch und nimmt euch auch Zeit dafür. Denn ihr habt nix von der dort gesparten Zeit, wenn ihr hinterher den falschen Ansatz durchrechnet.
Und ich denk, dass auch dies zur Mathematik gehört: Die Anforderungen spezifizieren zu können.
> Und damit das schön eindeutig wird (also Wurzelziehen eine Funktion ist), definiert man einen Hauptwert oder Hauptzweig.
Gschmarrie.
* Man kann natürlich allerlei Spielereien treiben um eine Pseudo-Eindeutigkeit zu schaffen, aber dies immer nur auf Kosten, dass man die Ebene aufschlitzen muss, daher also insbesondere nicht sqrt auf C eindeutig definiert hat.
Lustigerweise wäre die übliche Wahl die Wahl, die dafür sorgt, dass die Wurzel auf allen bis auf den negativen Zahlen (und der NUll) definiert ist.
1 = sqrt(1) = sqrt(-1*-1) = sqrt(-1)*sqrt(-1) = i*i = -1
Das ist deshalb schiefgegangen, weil man sich im Laufe dieser Rechnung von seinem “Hauptzweig”, egal wie man den definiert hat, herunterbewegt hat. Das muß man allerdings bemerken, und wenn man ohnehin schon die –Zeichen übersieht, verschwindet der Fehler ja auch genauso unauffällig wieder, wie er gekommen ist. Nur die Brücke stürzt trotzdem ein.
@rjb
Ich hatte, als ich mal Lehrer an einem Gymnasium war, Anweisung, nicht über Wurzeln aus negativen Zahlen zu sprechen. Das würde die Schüler (nein, die SuS hieß das da) verwirren.
Das mit der pingeligen Unterscheidung zwischen Funkton und Graph sei sehr wichtig, weil das in den Prüfungen verlangt würde. Ich hatte ja die Frechheit besessen, die Funktion als Menge von Paaren einzuführen, die dann mit dem Graph identisch ist. Dass man sich dann nicht mehr über Surjektivität zu unterhalten braucht, war egal, weil das bis zum Abitur eh nicht mehr drankommt.
Nach dem Gemecker habe ich dem Schulleiter, einem Mathelehrer, drei Stellen im Lambacher Schweizer gezeigt, wo etwas von Schnittpunkten von Potenzfunktionen und dergleichen stand.
Im Lambacher Schweizer wird übrigens x^2-2x=0 mit der pq-Formel gelöst.
Vor zwei Jahren musste man noch, um eine Vier zu bekommen, 50% der Punkte bekommen. Heute reicht 40%. Und man bekommt die Punkte viel leichter als noch vor Jahrzehnen, als ich Schüler war.
Die Kinder, die heute in der Klasse 7 rumlungern, wären damals, als ich zur Schule ging, nicht in die Klasse 5 versetzt worden.
@rjb
Erstens gilt sqrt(a*b) = sqrt(a) * sqrt(b) nicht allgemein, sondern nur für positive Zahlen. Zweitens ist die Wurzel von 1 sowohl 1 als auch -1. Wurzel ziehen bei Gleichungen ist immer unschön.
@lohengrin
„Das mit der pingeligen Unterscheidung zwischen Funkton und Graph sei sehr wichtig, weil das in den Prüfungen verlangt würde. Ich hatte ja die Frechheit besessen, die Funktion als Menge von Paaren einzuführen, die dann mit dem Graph identisch ist.“//
Ohne jetzt noch mal zu googlen, glaube ich mich erinnern zu können, daß eine Funktion eine eindeutige Abbildung der einen Menge auf eine andere ist, wobei der Begriff „Abbildung“ schon abstrahiert ist, „Mengen“ natürlich nicht nur Zahlenbereiche sind und eine explizite Funktion nur einen speziellen Operator darstellt.
Jetzt müssten diese Supermathematiker eigentlich noch zwischen der Bezeichnung von Mengen und ihrer Darstellung unterscheiden – aber das wird dann wohl zu kompliziert für die genderastischen Mathematik-Verschlimmbesserer mit Null Ahnung von Mathematik.
@missingno
Ja, da gibt es sicher noch viel mehr Sätze und Lemmata, die der Abiturient eigentlich erst anführen muß, um überhaupt eine Wurzel ziehen zu dürfen. Am schnellsten geht natürlich zum Schluß eine einfache Probe und bei 1 = -1 hat man eben etwas falsch gemacht.
Darstellung//
Ich meine, die Bezeichnung der Elemente einer Menge mit fortlaufenden Zahlen oder Buchstaben ist ja auch nur eine eineindeutige Abbildung, bzw. die Darstellung einer Menge.
@Missingno
Wenn “die Wurzel von 1 sowohl 1 als auch -1” darauf hinauslaufen sollte, daß Funktionen mehrdeutig sein können, dann ist das eine ganz schlechte Idee, denn wenn mehrdeutige Funktionen iteriert werden, gerät alles aus den Fugen.
Der korrekte Definitionsbereich für die komplexe Quadratwurzelfunktion ist eine Riemannsche Fläche, und zwar eine an den Punkten 0 und oo verzweigte zweiblättrige Überlagerung der Zahlenkugel. Das heißt, man bekommt die Probleme mit der Mehrdeutigkeit (und seine Folgen) dadurch in den Griff, daß man den Definitionsbereich so ausbaut, daß darauf alles eindeutig wird; ein Geniestreich des Namensgebers dieser Flächen. Ich glaube nicht, daß sowas jemals Schulstoff war, auch nicht zu Zeiten, als komplexe Zahlen noch in der Schule drankamen. Man bracht das auch nicht, um etwa nichtreelle Lösungen quadratischer Gleichungen zu bestimmen, oder um ebene Geometrie mit komplexen Zahlen zu betreiben. Aber das komplexe Pendant dessen, was in der Schule an (reeller) Analysis getrieben wird, wäre ein anderes Kaliber.
Weil mir das eben noch in einem früheren Beitrag von Dir auffällt: “Es fehlt auf jeden Fall der Hinweis “D € R” (Definitionsbereich D ist Element der reellen Zahlen)” Ein Element ist hier etwas wenig, eine Teilmenge sollte es schon sein. Und etwas anderes als reellwertige Funktionen mit reellem Definitionsbereich gibt es in dieser Schulanalysis ziemlich sicher ohnehin nicht, so daß ein derartiger Hinweis allenfalls verwirren würde.
> Wieviele Punkte mit rein rationalen Koordinaten hat die Kurve?
> Mit welcher Methode findet man diese Punkte?
> Wie zeigt man, dass man damit alle Punkte mit
> rein rationalen Punkten findet?
> Kann man eine Algebra auf diesen Punkten definieren?
(1) Dort wo der Faktor x-16/5 nicht verschwindet ist f(x) genau dann
rational wenn Wurzel(x-1) rational ist. [hat Hadmut ja schon erwähnt].
(2) Wurzel(x-1) ist genau dann rational, wenn es ein rationales t mit
x = 1 + t^2 gibt. In diesem Fall ist dann Wurzel(x-1) = |t|.
(3) Mit Ausnahme des Punktes (16/5 , 0) haben also alle rationalen
Punkte des Graphen die Form (1+t^2 , f(1+t^2)) für ein geeignetes
rationales t. Für nichtnegatives t erhält man
f(1+t^2) = (1/2)*t*(t^2-11/5)
Insgesamt ist also
{ (16/5 , 0 } vereinigt { (1+t^2 , (1/2)*t*(t^2-11/5)) | t>=0 rational }
die Menge der rationalen Punkte auf dem Graphen. Wegen der Injektivität
von [t->1+t^2] auf den nichtnegativen rationalen Zahlen ist auch klar,
dass es abzählbar unendlich viele davon gibt.
Bis hierhin ist das alles auch noch im Bereich der Schulmathematik, auch wenn es wohl für eine Klausur zu aufwendig ist.
Mit der Algebrenstruktur sieht es trübe aus. Natürlich kann man vermittels einer Bijektion auf Q einfach dessen gewöhnliche Algebrenstruktur übertragen. Aber das ist nun etwas künstlich, weil es keine kanonische Bijektion auf Q gibt.
Das Hauptproblem ist, dass man sich nur auf die Punkte des Funktionsgraphen beschränkt und dabei die Punkte verwirft, die man aus dessen Spiegelung an der x-Achse erhält. Das wird allenfalls eine semialgebraische Menge.
@Hadmut
Apropos Komplexe Zahlen in der Schule:
Soweit ich mitbekommen habe, hat mein großer, der letztes jahr das Abitzur (BaWü) gemacht hat, durchaus auch diese im Unterricht mitbekommen.
Scheint als noch nicht überall aus der Mode gekommen zu sein.
@quarc
Hast du denn gezeigt, dass es diese t auch gibt?
Zur Eindeutigkeit der Wurzel:
In der Aufgabenstellung steht, es handele sich um eine Funktion.
Eine Funktion ordnet nach Definition einem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Bildmenge zu.
Eine mehrdeutige Interpretation des Wurzelausdrucks widerspräche der Voraussetzung, dass es sich um f um eine Funktion handelt.
Nur mal so nebenbei bemerkt.
@.Manfred P:
> Hast du denn gezeigt, dass es diese t auch gibt?
Ich verstehe die Frage nicht so ganz. Jede nichtnegative reelle Zahl ist ein Quadrat. Insbesondere gibt es für x >= 1 stets ein t mit x-1 = t^2 und nach Definition der Quadratwurzel ist dann Wurzel(x-1) = |t|. Die Parametrisierung der Kurve über t -> (1+t^2 , f(1+t^2)) hat man also immer, die Frage ist bloß, für welche t dabei Punkte mit rationalen Koordinaten herauskommen.
P.S.: um nochmal auf das ursprüngliche Thema zu kommen. Es zeigt sich ja an der eingestreuten Frage nach den rationalen Punkten, dass man auch mit so einem einfachen Beispiel noch viel anfangen kann, und dass die Fragestellung auch noch mit den Mitteln der Oberstufe behandelt werden kann. Nicht unbedingt in einer Klausur, aber z.B. im Unterricht oder als Hausaufgabe. Letztlich sind für das Abitur die zwei Jahre vor der Prüfung viel prägender als die eigentliche Prüfung, und da sorge ich mich viel mehr.
Korrektur:
Insbesondere gibt es für x >= 1 stets ein t mit x-1 = t^2 […]
Die Parametrisierung der Kurve über t -> (1+t^2 , f(1+t^2))
@Gedöns
Es liegt aber nicht an den imaginären Zahlen. Zum Beispiel kann ich auch ohne i (und ohne sqrt(a*b) = sqrt(a) * sqrt(b)) auf 1 = -1 (oder jede beliebige Zahl) kommen:
x = x
x * x = x * x
x * x = -1 * -1 * x * x
x^2 = (-x)^2
sqrt(x^2) = sqrt((-x)^2)
x = -x
@rjb
> Ein Element ist hier etwas wenig, eine Teilmenge sollte es schon sein.
Ja, da habe ich bei der Formulierung geschlafen.
@quarc
Ich verstehe Dein Argument. Ich meinte nur, dass man eigentlich explizit zeigen müsste, dass es t gibt, für die sqrt( t² -1) rational wird.
Intuitiv ist aber das Argument schon klar, dass eine Parametrisierung über t in R auch rationale Zahlen “erwischt”, wenn t die Definitionsmenge durchläuft.
@missigno
Eigentlich muß die Quadratwurzel stets eine nichtnegative Zahl sein:
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Eindeutigkeit_von_Wurzeln_aus_positiven_Zahlen
so daß da also Betrag(x) = Betrag(-x) stehn müsste, was stimmt.
Das ziehen einer Wurzel ist also immer problematisch, wie auch ein Quadrieren, weil dadurch falsche Aussagen entstehen können bzw. die Lösungsmenge zu klein bestimmt wird. Und x²=4 hat nur deshalb die Lösungen +2 und -2, weil ich eigentlich die Nullstellen (sind Abszissen!) einer Funktion y= x²-4 suche und nicht Funktionswerte (Ordinate!) einer Wurzelfunktion. Der Funktionsbegriff (nur genau eine Ordinate zu jeder Abszisse) wird also nicht untergraben.
Das ist genauso, wie wenn man bei ln(x²) den Exponenten nach vorn ziehen würde: sofort kann man einen Fehler bei der Lösungsmenge machen (2*ln(x)=ln4 hat nur noch die Lösung x=2). In beiden Fällen müsste man also eigentlich jeweils von vorneherein eine Fallunterscheidung bei der Lösung machen (x>=0 bzw. x<=0).
Bzw. x²=4 wird also zu sqrt(x²) = sqrt(4) und weiter |x| = 2.
Und ln(x²) = ln4 wird zu 2*ln|x| = ln4 und weiter |x| = exp(½ln4) =2
Man erhält die Lösungen 2 und -2.
@Gedöns
Nach dieser Definition steht bei rjb auch nicht
1 = … = i*i = -1
sondern
1 = … = |i|*|i| = |i*i| = |-1|
und schon ist alles in Butter.
> Das ziehen einer Wurzel ist also immer problematisch
Sag’ ich ja.
Mal zum Vergleich:
Ich war im ersten Jahrgang wo das Zentralabi oder eine lose Variante davon eingeführt wurde (ca. 2006/07). Damals habe ich mir extra die Matheaufgabe gemerkt weil ich es nicht glauben konnte:
Der Analysis Teil bestand aus einer Kurvendiskussion zu einer Funktion ala f(x) = sin(x)*. Das war alles. Ich fühlte mich veräppelt. Dafür habe ich die Wochen zuvor Mathe gelernt!? Nicht so das ich das bereue, aber das war dann doch schon lächerlich für ein Abitur.
*Die Form mag etwas anders gewesen sein, ich erinnere mich nur daran, dass es nur ein Sinus Term war, ähnlich wie sin(x – 1) oder sin(x)*3. Vielleicht würde ich das noch in meinen Unterlagen finden.
Meine Güte! Ich fand mein Abitur schon fast zu schematisch, aber wir mussten noch komplette Kurvendiskussionen machen und einige Tricks waren immer vonnöten. Dazu das dann doch kreativere Integrieren. Gibts das noch im Abitur? das war nicht so simpel!